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Thoma Motion Calcolo Numerico

Simulatori interattivi e animazioni per il 1° Parziale (Prof. Federico Piazzon — UniPD)

Includi in Obsidian
Laboratorio Visivo dei Punti 1–21 del Glossario

Visualizza le Dimostrazioni e gli Errori Numerici

Strumenti interattivi per interiorizzare le trappole algebriche d'esame: dal collasso di $LU$ senza pivoting per assorbimento floating-point, al cobweb plot del Lemma di Banach, fino al confinamento spettrale di Gershgorin e alla bisezione.

Punti 8–10 Glossario Eliminazione Gaussiana & Pivot Piccolo

Fattorizzazione LU vs PA=LU

Esplora il controesempio cardine $A = \begin{pmatrix} \varepsilon & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$: sperimenta l'assorbimento $1 - 1/\varepsilon \approx -1/\varepsilon$ che distrugge la soluzione $x_1$ con errore del 100% senza pivoting, a fronte della stabilità incondizionata di $PA=LU$. Include visualizzatore passo-passo dello scambio contestuale dei moltiplicatori in $L$.

$$PA = LU \implies |m_{ik}| \le 1, \quad |l_{ij}| \le 1$$
  • Slider live per $\varepsilon \in [10^{-1}, 10^{-14}]$ ed emulatore mantissa IEEE-754
  • Confronto affiancato $LU$ vs $PA=LU$ con calcolo dell'errore vero
  • Visualizzatore passo-passo della riduzione 3x3/4x4 con tracciamento di $P$
Apri Simulatore LU & Pivoting
Punto 11 Glossario (Dim. Cardine 1) Punti Fissi & Serie Geometrica

Lemma delle Contrazioni di Banach

Cobweb plot interattivo ($x_{k+1} = T(x_k)$ vs $y=x$) e dimostrazione visiva della successione di Cauchy come serie geometrica di ragione $L < 1$. Confronto live delle 3 stime d'errore (Errore Vero, Stima a Priori e Stima a Posteriori) e analisi dei celebri controesempi d'esame per $L=1$.

$$\|x^{(k)} - x^*\| \le \frac{L^k}{1-L}\|x_1 - x_0\| \le \frac{L}{1-L}\|x_k - x_{k-1}\|$$
  • Cobweb plot fluido con drag interattivo del punto iniziale $x_0$
  • Confronto in tempo reale delle 3 stime d'errore in scala logaritmica
  • Controesempi per $L=1$ richiesti da Piazzon: $x+1$ e $\sqrt{x^2+1}$
Apri Simulatore Banach & Contrazioni
Punto 15 Glossario (Dim. Cardine 2) Piano Complesso & Matrici SDD

Cerchi di Gershgorin & Convergenza Jacobi

Visualizzazione dinamica sul piano complesso $\mathbb{C}$ dei Cerchi di Gershgorin per la matrice $A$ e per la matrice di iterazione di Jacobi $B_J = -D^{-1}(L+U)$. Dimostrazione geometrica del perché l'ipotesi SDD garantisce centri nell'origine $c_i=0$ e raggi $r_i < 1$, confinando tutti gli autovalori nel disco unitario $|\lambda| < 1$.

$$A \text{ SDD} \implies c_i(B_J) = 0, \quad r_i(B_J) < 1 \implies \rho(B_J) < 1$$
  • Rendering interattivo del piano complesso con disco unitario e autovalori esatti
  • Slider di dominanza diagonale: osserva la divergenza quando $\alpha < 1$
  • Simulazione live delle iterazioni del metodo di Jacobi
Apri Simulatore Gershgorin & Jacobi
Punto 21 Glossario (Stop Lezione 12) Zeri di Funzione & Teorema di Bolzano

Metodo di Bisezione & Stima Passi

Dimezzamento interattivo dell'intervallo $[a_k, b_k]$ con calcolatore live della stima a priori dei passi $k \ge \lceil \log_2((b-a)/\tau) \rceil - 1$. Dimostrazione grafica della celebre trappola d'esame: la non-monotonicità dell'errore reale $|x_k - x^*|$ a fronte della monotonicità della maggiorazione teorica.

$$k \ge \left\lceil \log_2\left(\frac{b-a}{\tau}\right) \right\rceil - 1, \quad |e_k| \le \frac{b-a}{2^{k+1}}$$
  • Animazione passo-passo sul grafico di $f(x)$ con campitura intervallo
  • Grafico comparativo errore reale vs maggiorazione teorica
  • Controesempi d'esame: polo verticale $1/(x-0.5)$ e zeri tangenti a molteplicità pari
Apri Simulatore Metodo di Bisezione
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Integrazione Immediata nel Vault Obsidian

Come inserire questi simulatori interattivi direttamente all'interno delle tue note di studio

Opzione 1: Deploy Web (Cloudflare Pages)

Una volta pubblicato su Cloudflare Pages o GitHub Pages (es. https://thoma-motion.pages.dev), incolla questo blocco HTML nelle note Obsidian: 

<iframe 
  src="https://thoma-motion.pages.dev/lu-pivoting.html" 
  width="100%" 
  height="650px" 
  frameborder="0" 
  style="border-radius: 12px; border: 1px solid #2e2e38;">
</iframe>

Opzione 2: Apertura Locale Rapida

I file sono completamente autonomi e non richiedono build o server Node.js. Puoi aprirli direttamente nel browser predefinito facendo doppio clic sui file .html oppure via link locale: 

[Apri Simulatore Banach](file:///c:/Users/thoma/Documents/obsidian/thoma-motion/banach.html)