Teorema di Gershgorin & Convergenza di Jacobi
Esplora il confinamento spettrale degli autovalori nel piano complesso $\mathbb{C}$. Scopri geometricamente perché l'ipotesi di stretta dominanza diagonale per righe (SDD) costringe tutti i cerchi della matrice di iterazione di Jacobi $B_J = -D^{-1}(L+U)$ a essere centrati nell'origine $c_i = 0$ con raggio strettamente minore di uno $r_i < 1$, blindando $\rho(B_J) < 1$.
Impostazioni Matrice & Parametri
Simulazione Iterativa di Jacobi
Eseguiamo $x^{(k+1)} = B_J x^{(k)} + D^{-1}b$. Osserva come l'errore collassi o diverga in base al valore di $\rho(B_J)$.
Piano Complesso $\mathbb{C}$ — Cerchi di Gershgorin & Autovalori
Parametri dei Cerchi $D_i(c_i, r_i)$ & Autovalori Calcolati
| Riga $i$ | Centro $c_i = a_{ii}$ | Raggio $r_i = \sum_{j \ne i} |a_{ij}|$ | Condizione Riga | Autovalore Associato $\lambda_i$ | Confinamento in $D_i$ |
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Dimostrazione d'Esame: Convergenza di Jacobi per Matrici SDD
Trascrizione fedele dei passaggi richiesti dal Prof. Piazzon nel 1° Parziale
Passo 1: Il Primo Teorema di Gershgorin
Sia $\lambda \in \sigma(A)$ con autovettore non nullo $v \ne 0$, tale che $Av = \lambda v$. Sia $p$ l'indice della componente di massimo modulo dell'autovettore: $|v_p| = \|v\|_\infty = \max_j |v_j| > 0$. Consideriamo la $p$-esima equazione: $$\sum_{j=1}^n a_{pj} v_j = \lambda v_p \implies (\lambda - a_{pp}) v_p = \sum_{j \ne p} a_{pj} v_j$$ Dividendo per $v_p \ne 0$ e applicando la disuguaglianza triangolare: $$|\lambda - a_{pp}| \le \sum_{j \ne p} |a_{pj}| \left|\frac{v_j}{v_p}\right| \le \sum_{j \ne p} |a_{pj}| = r_p$$ Dunque $\lambda \in D_p(a_{pp}, r_p) \subseteq \bigcup_{i=1}^n D_i$. $\blacksquare$
Passo 2: Applicazione alla Matrice di Jacobi $B_J$
La matrice di iterazione di Jacobi è $B_J = -D^{-1}(L+U) = I - D^{-1}A$. I suoi elementi diagonali sono identicamente nulli: $[B_J]_{ii} = 0$, mentre per i fuori diagonale $[B_J]_{ij} = -\frac{a_{ij}}{a_{ii}}$. I cerchi di Gershgorin di $B_J$ hanno quindi: $$c_i(B_J) = 0, \qquad r_i(B_J) = \sum_{j \ne i} \left|-\frac{a_{ij}}{a_{ii}}\right| = \frac{1}{|a_{ii}|} \sum_{j \ne i} |a_{ij}|$$ Se $A$ è SDD per righe, $|a_{ii}| > \sum_{j \ne i} |a_{ij}| \iff r_i(B_J) < 1$. Tutti i cerchi sono dischi concentrici in 0 con raggio $< 1$: $$\rho(B_J) = \max |\lambda| \le \max_i r_i(B_J) < 1 \implies \text{Convergenza Assoluta!}$$