Lemma delle Contrazioni di Banach-Caccioppoli
Visualizza l'iterazione di punto fisso $x^{(k+1)} = T(x^{(k)})$ attraverso il cobweb plot (diagramma a ragnatela). Verifica visivamente la convergenza della serie geometrica, confronta l'Errore Vero con le Stime a Priori e a Posteriori, ed esplora i due celebri controesempi d'esame con $L=1$.
Impostazioni Funzione & Iterazione
Successione di Cauchy & Serie Geometrica
I salti soddisfano $\|x^{(k+1)} - x^{(k)}\| \le L^k \|x^{(1)} - x^{(0)}\|$. La somma totale è maggiorata dalla serie geometrica $\sum_{j=0}^\infty L^j \|s^{(0)}\| = \frac{\|s^{(0)}\|}{1-L}$.
Cobweb Plot Dinamico ($x_{k+1} = T(x_k)$ vs $y = x$)
Confronto delle 3 Stime d'Errore d'Esame
| Passo $k$ | Iterata $x^{(k)}$ | Errore Vero $\|x^{(k)} - x^*\|$ | Stima a Priori $\frac{L^k}{1-L}\|s^{(0)}\|$ | Stima a Posteriori $\frac{L}{1-L}\|s^{(k-1)}\|$ | Verifica Disuguaglianza |
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Schema Rigoroso della Dimostrazione in 4 Punti (Quaderno JJ)
La struttura canonica richiesta dal Prof. Piazzon nelle prove scritte
Punto 1: Successione di Cauchy
Scriviamo la differenza telescopica: $x^{(k+l)} - x^{(k)} = \sum_{j=0}^{l-1} (x^{(k+j+1)} - x^{(k+j)})$. Applicando la contrazione $\|x^{(m+1)} - x^{(m)}\| \le L^m \|x^{(1)} - x^{(0)}\|$ e la serie geometrica: $$\|x^{(k+l)} - x^{(k)}\| \le L^k \|x^{(1)} - x^{(0)}\| \sum_{j=0}^{l-1} L^j \le \frac{L^k}{1-L} \|x^{(1)} - x^{(0)}\|$$ Poiché $L < 1$, $L^k \to 0$ per $k \to \infty$. La successione è di Cauchy.
Punto 2: Completezza ed Esistenza
Poiché lo spazio vettoriale normato ha dimensione finita, esso è completo (spazio di Banach). Dunque ogni successione di Cauchy ammette limite: $\exists x^* \in \mathbb{R}^n$ tale che $x^{(k)} \to x^*$. Per continuità uniforme della contrazione $T$: $$x^* = \lim_{k \to \infty} x^{(k+1)} = \lim_{k \to \infty} T(x^{(k)}) = T\left(\lim_{k \to \infty} x^{(k)}\right) = T(x^*)$$ Dunque $x^*$ è un punto fisso.
Punto 3: Unicità Assoluta
Siano $x^*, y^*$ due punti fissi distinti: $T(x^*)=x^*, T(y^*)=y^*$. $$\|x^* - y^*\| = \|T(x^*) - T(y^*)\| \le L \|x^* - y^*\| \implies (1 - L)\|x^* - y^*\| \le 0$$ Poiché $1 - L > 0$ e la norma è non-negativa, deve necessariamente essere $\|x^* - y^*\| = 0 \iff x^* = y^*$.
Punto 4: Le Due Stime dell'Errore
A Priori: passando al limite per $l \to \infty$ nella relazione di Cauchy: $$\|x^* - x^{(k)}\| \le \frac{L^k}{1-L} \|x^{(1)} - x^{(0)}\|$$ A Posteriori: usando la disuguaglianza triangolare con $T(x^{(k)}) = x^{(k+1)}$: $$\|x^* - x^{(k)}\| \le \frac{1}{1-L} \|x^{(k+1)} - x^{(k)}\| \le \frac{L}{1-L} \|x^{(k)} - x^{(k-1)}\|$$