Metodo di Bisezione & Calcolo degli Zeri
Visualizza il dimezzamento sequenziale dell'intervallo $[a_k, b_k]$ basato sul Teorema di Bolzano. Calcola a priori il numero esatto di iterazioni $k \ge \lceil \log_2((b-a)/\tau) \rceil - 1$, sperimenta la fondamentale non-monotonicità dell'errore effettivo rispetto alla maggiorazione teorica, ed esamina le trappole dei poli e delle radici a molteplicità pari.
Impostazioni Funzione & Tolleranza
Intervallo Attivo $[a_k, b_k]$
Grafico di $f(x)$ & Sottointervallo Attivo $[a_k, b_k]$
La Trappola d'Esame: Non-Monotonicità dell'Errore Reale
L'errore reale oscilla e può persino aumentare, mentre la maggiorazione teorica decresce rigidamente.
Teoria d'Esame: Derivazione della Stima a Priori & Bolzano
Derivazione algebrica obbligatoria richiesta nei compiti scritti
Derivazione Algebrica del Numero di Passi
Vogliamo garantire che l'errore sul punto medio sia inferiore alla tolleranza $\tau$: $$|x_k - x^*| \le \frac{b - a}{2^{k+1}} \le \tau$$ Risolvendo rispetto all'indice di iterazione $k$: $$2^{k+1} \ge \frac{b - a}{\tau} \iff k + 1 \ge \log_2\left(\frac{b - a}{\tau}\right) \iff k \ge \log_2\left(\frac{b - a}{\tau}\right) - 1$$ Poiché il numero di passi $k \in \mathbb{N}$ deve essere intero, si prende la parte intera superiore: $$k \ge \left\lceil \log_2\left(\frac{b - a}{\tau}\right) \right\rceil - 1 = \left\lceil \frac{\ln(b - a) - \ln \tau}{\ln 2} \right\rceil - 1 \quad \blacksquare$$
Criterio di Unicità via Teorema di Rolle
Il Teorema di Bolzano garantisce solo l'esistenza. Per provare l'unicità, supponiamo per assurdo che esistano due radici distinte $x_1^* < x_2^*$ in $(a, b)$ con $f(x_1^*)=f(x_2^*)=0$. Se $f \in C^1([a, b])$, applicando il Teorema di Rolle su $[x_1^*, x_2^*]$, esiste $\xi \in (x_1^*, x_2^*)$ con $f'(\xi) = 0$. Se imponiamo che la derivata prima abbia segno costante ($f'(x) > 0$ oppure $f'(x) < 0$ $\forall x$), otteniamo una contraddizione insanabile. Dunque lo zero è unico. $\blacksquare$